Частично упорядоченное множество

Определение 1. Множество называется частично упорядоченным¹⁾, если на нем задано отношение частичного порядка .

Определение 2. Множество называется линейно упорядоченным²⁾, если на нем задано некоторое отношение линейного порядка .

Пример 1. Множество всех подмножеств множества является частично упорядоченным множеством с бинарным отношением . Но неверно, что из двух произвольных подмножеств в одно из них содержится в другом, поэтому множество не является линейно упорядоченным.

Определение 3. Элемент частично упорядоченного множества называется максимальным³⁾, если влечет за собой .

Определение 4. Элемент частично упорядоченного множества называется минимальным⁴⁾, если влечет за собой .

Если множество линейно упорядочено, то минимальный и максимальный элементы этого множества, если они существуют, определены единственным образом и называются наименьшим и наибольшим элементом множества, соответственно.

Определение 5. Пусть — подмножество частично упорядоченного множества . Говорят, что элемент — верхняя грань⁵⁾ для множества , если для всех . Минимальный элемент среди всех верхних граней для множества , если он существует, называется наименьшей верхней гранью⁶⁾ для множества .

Определение 6. Пусть — подмножество частично упорядоченного множества . Говорят, что элемент — нижняя грань⁷⁾ для множества , если для всех . Максимальный элемент среди всех нижних граней для множества , если он существует, называется наибольшей нижней гранью⁸⁾ для множества .

Пример 2. Подмножество в не имеет максимального элемента, но имеет верхнюю грань в множестве , в качестве которой можно выбрать любое число, не меньшее 1. Наименьшая верхняя грань для равна 1.

Определение 7. Множество называется индуктивно упорядоченным⁹⁾, если

1. — частично упорядоченное множество;
2. любое линейно упорядоченное подмножество в имеет верхнюю грань.

Лемма Цорна. Пусть — непустое индуктивно упорядоченное множество, тогда в существует по крайней мере один максимальный элемент.

Определение 8. Линейно упорядоченное множество называется вполне упорядоченным¹⁰⁾, если каждое его непустое подмножество имеет наименьший элемент.

Пример 3. Множество натуральных чисел со стандартным отношением порядка является вполне упорядоченным множеством.

Теорема (Цермело). Каждое множество может быть вполне упорядочено.

• Трансфинитная индукция

• Бурбаки Н., «Теория множеств», Мир, 1965.
• Гордон Е.И., Полотовский Г.М. «Мощность бесконечных множеств», Издательство ННГУ, 1998.
• Ламбек И. «Кольца и модули», Мир, 1971.
• Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.