Поле комплексных чисел

Поле комплексных чисел

Плоскость комплексных чисел

Под комплексным числом¹⁾ $z$ понимается пара действительных чисел $(a,b)$ . Через $\mathbb{C}$ будем обозначать множество всех комплексных чисел, то есть множество комплексных чисел можно интерпретировать как точки на плоскости $\mathbb{R}^2$ . Определим операцию сложения комплексных чисел по правилу
$(a_1,b_1)+(a_2,b_2)=(a_1+a_2,b_1+b_2)$ для всех $(a_1,b_1),(a_2,b_2)\in\mathbb{C}$ ,
и определим операцию умножения:
$(a_1,b_1)\cdot(a_2,b_2)=(a_1a_2-b_1b_2,a_1b_2+a_2b_1)$ для всех $(a_1,b_1),(a_2,b_2)\in\mathbb{C}$ .

Предложение 1. Множество $(\mathbb{C},+,\cdot)$ является полем.

Нулевым элементом в поле $\mathbb{C}$ является пара $(0,0)$ , а единичным — пара $(1,0)$ . Противоположный элемент для $(a,b)$ — это $(-a,-b)$ , а обратным для ненулевого $(a,b)$ является $(\frac{a}{a^2+b^2},-\frac{b}{a^2+b^2})$ .

Алгебраическая запись

Так как

$(a_1,0)+(a_2,0)=(a_1+a_2,0)$ ,
$(a_1,0)\cdot(a_2,0)=(a_1\cdot a_2,0)$ ,

то ось абсцисс комплексной плоскости можно считать вещественной прямой $\mathbb{R}$ , а ее элементы $(a,0)$ обозначать через $a$ . При этом нуль $(0,0)$ будет обозначаться через 0, а единица $(1,0)$ — через 1. Точку $(0,1)$ на оси ординат обозначают через $i$ и называют мнимой единицей²⁾. Тогда произвольное комплексное число $(a,b)=(a,0)+(0,b)=(a,0)+(b,0)(0,1)$ запишется в виде $a+bi$ .

Така как $(0,1)\cdot(0,1)=(0\cdot 0-1\cdot 1,0\cdot 1+1\cdot 0)=(-1,0)$ , то мнимая единица $i$ обладает свойством:

Предложение 1. $i^2=-1$ .

Предложение 2. Каждое ассоциативное коммутативное кольцо $R$ с единицей и без делителей нуля, являющееся двумерным векторным пространством над полем $\mathbb{R}$ , изоморфно полю $\mathbb{C}$ .

Литература

Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», Физматлит, 2001.

¹⁾ complex number

²⁾ imaginary unit

glossary/set/complex.txt · Последние изменения: 28.08.2010 00:25:49 ladilova

Наверх