Бинарная алгебраическая операция

Определение 1. Бинарная операция¹⁾ на непустом множестве — это отображение из прямого произведения в .

Для обозначения бинарной алгебраической операции часто вместо записи используют запись . Обычно также для обозначения бинарных алгебраических опреаций используют специальные символы , , и так далее.

Пример 1. Операции сложения и умножения в основных алгебраических структурах: группах, кольцах, полях — являются бинарными алгебраическими операциями.

Пример 2. Пусть — множество всех подмножеств множества . Операции пересечения и объединения — это бинарные алгебраические операции на множестве .

Пример 3. Операция, ставящая в соответствие двум натуральным числам и их наибольший общий делитель НОД, является бинарной алгебраической операцией на множестве натуральных чисел.

Определение 2. Бинарная алгебраическая операция на множестве называется коммутативной²⁾, если для всех .

Определение 3. Бинарная алгебраическая операция на множестве называется ассоциативной³⁾, если для всех .

Пример 4. Операция сложения на множестве целых чисел является коммутативной и ассоциативной.

Пример 5. Операция композиции отображений на множестве ассоциативна, но не коммутативна.

Пример 6. Операция умножения в кольце Ли не является ни коммутативной, ни ассоциативной.

Определение 4. Пара , сосотоящая из множества и бинарной алгебраической операции , называется группоидом⁴⁾.

Если операция в группоиде обозначается символом , то ее называют сложением⁵⁾ и говорят, что группоид записан аддитивно⁶⁾. Если операция в группоиде обозначается символом , то ее называют умножением⁷⁾ и говорят, что группоид записан мультипликативно⁸⁾.

• Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», Физматлит, 2001.
• Куликов Л.Я. «Алгебра и теория чисел», Высшая школа, 1979.
• Курош А.Г. «Общая алгебра», Наука, 1974.