Гомоморфизм колец
- Определение
- Литература

Гомоморфизм колец

Определение

Определение 1. Пусть даны произвольные кольца $(A,+_A,\cdot_A)$ и $(B,+_B,\cdot_B)$ . Отображение $\varphi:A\rightarrow B$ называется гомоморфизмом колец¹⁾, если:

$\varphi(x+_Ay)=\varphi(x)+_B\varphi(y)$ для $\forall x,y\in A$ , то есть $\varphi$ — гомоморфизм абелевых групп $(A,+_A)$ и $(B,+_B)$ ;
$\varphi(x\cdot_Ay)=\varphi(x)\cdot_B\varphi(y)$ для $\forall x,y\in A$ ;
если кольца $A$ и $B$ обладают единицей, то $\varphi(1_A)=1_B$ .

Определение 2. Гомоморфизм колец $\varphi:G\rightarrow H$ называется мономорфизмом колец²⁾, если отображение $\varphi$ инъективно.

Определение 3. Гомоморфизм колец $\varphi:G\rightarrow H$ называется эпиморфизмом колец³⁾, если отображение $\varphi$ сюръективно.

Определение 4. Гомоморфизм колец $\varphi:G\rightarrow H$ называется изоморфизмом колец⁴⁾, если он является мономорфизмом и эпиморфизмом одновременно.

Определение 5. Ядром гомоморфизма колец $\varphi$ называется множество $\textrm{Ker}~\varphi=\{x\in A|\varphi(x)=0\}$ .

Предложение 1. Гомоморфизм $\varphi:G\rightarrow H$ является мономорфизмом тогда и только тогда, когда $\textrm{ker}\varphi=\{0\}$ .

Предложение 2. Гомоморфизм $\varphi:G\rightarrow H$ является эпиморфизмом тогда и только тогда, когда $\textrm{im}\varphi=H$ .

Предложение 3. Гомоморфизм $\varphi:G\rightarrow H$ является изоморфизмом тогда и только тогда, когда существует гомоморфизм $\varphi^{-1}:H\rightarrow G$ такой, что $\varphi^{-1}\circ\varphi=\textrm{id}_G$ и $\varphi\circ\varphi^{-1}=\textrm{id}_H$ .

Пример 1. Пусть $I$ — двусторонний идеал кольца $R$ . Тогда каноническая проекция $\pi:R\rightarrow R/I$ является гомоморфизмом колец. Действительно,