Гомоморфизм моноидов
- Описание
- Литература

Гомоморфизм моноидов

Описание

Определение 1. Пусть даны произвольные моноиды $(A,\cdot_A)$ и $(B,\cdot_B)$ . Отображение $\varphi:A\rightarrow B$ называется гомоморфизмом моноидов¹⁾, если:

$\varphi(x\cdot_Ay)=\varphi(x)\cdot_B\varphi(y)$ для $\forall x,y\in A$
$\varphi(1_A)=1_B$

Определение 2. Множество $\textrm{ker}\varphi=\{a\in A\vert\varphi(a)=1_B\}$ называется ядром гомоморфизма²⁾ $\varphi$ . Очевидно, что $\textrm{ker}\varphi$ содержит $1_A$ и является подмоноидом в $(A,\cdot_A)$ .

Определение 3. Множество $\textrm{Im}\varphi=\{b\in B\vert(\exists a\in A)\varphi(a)=b\}$ называется образом гомоморфизма³⁾ $\varphi$ . $\textrm{Im}\varphi$ является подмоноидом моноида $B$ .

Гомоморфизм моноидов — это морфизм в категории моноидов.

Пример 1. Пусть $G$ — мультипликативный моноид. Зафиксируем элемент $x\in G$ . Если $\mathbb{Z}_+$ — аддитивный моноид целых неотрицательных чисел, то отображение $f:\mathbb{Z}_+\rightarrow G$ , определяемое формулой $f(n)=x^n$ , является гомоморфизмом моноидов.

Пример 2. Рассмотрим моноиды $(\mathbb{N}\cup\{0\},+)$ и $(S(X),\ast)$ — моноид из примера 3 статьи Моноид, где $X$ — алфавит из одной буквы, $X=\{a\}$ . Определим отображение $\varphi\colon\mathbb{N}\cup\{0\}\rightarrow S(X)$ , которое элементу $1$ ставит в соответствие $a$ , а элементу $0$ — пустое слово $\Lambda$ . Тогда $\varphi(n)=\underbrace{a\ldots a}_{n}$ , а значит, $\varphi$ — гомоморфизм моноидов.