Моноид

Моноид

Определения

Определение 1. Пара $(X,\ast)$ , сосотящая из множества $X$ и бинарной алгебраической операции $\ast$ называется моноидом¹⁾, если выполнены условия:

Операция $\ast$ ассоциативна, то есть $(x\ast y)\ast z=x\ast(y\ast z)$ для $\forall x,y,z\in X$
Существует (нейтральный) элемент $e\in X$ такой, что $e\ast x=x\ast e=x$ для $\forall x\in X$ .

Таким образом, моноид — это полугруппа, обладающая нейтральным элементом.

Определение 2. Моноид $X$ с операцией $\ast$ называется коммутативным, если $\ast$ — коммутативна, то есть $x\ast y=y\ast x$ для любых $x,y\in X$ .

Пример 1. Множество целых чисел $\mathbb{Z}$ с операцией сложения $+$ является коммутативным моноидом.

Пример 2. Множество натуральных чисел $\mathbb{N}$ с операцией умножения $\cdot$ является коммутативным моноидом.

Пример 3. Пусть $X$ — некоторый алфавит. На множестве всех слов $S(X)$ алфавита $X$ введем операцию «приписывания» одного слова в конец другого: если $s_1\in S(X)$ и $s_2\in S(X)$ , то $s=s_1\ast s_2\in S(X)$ . Тогда пустое слово $\Lambda$ является нейтральным элементом. Ясно, что операция «приписывания» ассоциативна, поэтому пара $(S(X),\ast)$ — моноид.

Пример 4. Множество $\textrm{Mat}_n(\mathbb{Z})$ матриц порядка $n$ над кольцом $\mathbb{Z}$ с операцией умножения матриц является некоммутативным моноидом. Нейтральным элементом в этом случае является единичная матрица $E$ .

Пример 5. Пусть $X$ — произвольное множество. Обозначим через $\textrm{Hom}(X,X)$ множество всех отображений из $X$ в $X$ . Так как композиция отображений ассоциативна, и в $\textrm{Hom}(X,X)$ содержится нейтральный элемент $\textrm{id}_X$ — тождественное отображение, то $\textrm{Hom}(X,X)$ — моноид.

Определение 3. Пусть $Y$ — подмножество в $X$ , $Y\subset X$ . Будем говорить, что $(Y,\ast)$ является подмоноидом²⁾ моноида $(X,\ast)$ , если $Y$ содержит нейтральный элемент $e$ и замкнуто относительно операции $\ast$ , то есть $x\ast y\in Y$ для любых $x,y\in Y$ .