Жорданова нормальная форма

проверено. сюда бы еще метод приведения добавить

Жорданова матрица

Для произвольного поля $ F $ определены матрицы специального вида с элементами из $ F $. Пусть $\lambda\in F$.

Определение 1. Жордановой клеткой1) $J_r(\lambda)$ размера $r\times r$ с собственным значением $\lambda$ называется матрица вида

$J_r(\lambda)=\begin{pmatrix}\lambda & 1 & 0 & \ldots & 0\\0 & \lambda & 1 & \ldots & 0\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\0 & 0 & 0 & \ldots & \lambda\end{pmatrix}.$

Определение 2. Жордановой матрицей2) называется матрица, состоящая из диагональных блоков $J_{r_i}(\lambda_i)$ и нулей вне этих блоков:

$\begin{pmatrix}J_{r_1}(\lambda_1) & 0 & \ldots & 0\\0 & J_{r_2}(\lambda_2) & \ldots & 0\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\0 & 0 & \ldots & J_{r_k}(\lambda_k)\end{pmatrix}.$

Жорданова нормальная форма

Пусть $\varphi\colon V\rightarrow V$линейный оператор на конечномерном векторном пространстве $ V $ над полем $ F $. Зафиксировав в $ V $ некоторый базис $\{e_1,\ldots,e_n\}$, можно однозначно определить матрицу $A_{\varphi}$ этого линейного оператора.

Определение 3. Жордановым базисом линейного оператора $\varphi\colon V\rightarrow V$ называется такой базис пространства $ V $, в которой матрица $A_{\varphi}$ оператора $\varphi$ является жордановой. Говорят также, что матрица в этом базисе имеет жорданову нормальную форму.

Определение 4. Приведением квадратной матрицы $ A $ к жордановой нормальной форме называется решение матричного уравнения $X^{-1}AX=J(A)$, где $J(A)$ — некоторая жорданова матрица.

Теорема 1. Каждая квадратная матрица $ A $ порядка $ n $ над алгебраически замкнутым полем $ F $ приводится к жордановой нормальной форме, единственной с точностью до перестановки клеток.

Корневые подпространства

Пусть $\lambda$собственное значение линейного оператора $\varphi$ на пространстве $ V $.

Определение 5. Корневым подпространством3), соответствующим собственному значению $\lambda$ называется множество векторов

$V(\lambda)=\{v\in V|\exists k\in\mathbb{N}:(\varphi-\lambda\textrm{id})^kv=0\}$.

Предложение 1. Пусть $\varphi$ — линейный оператор на пространстве $ V $ с характеристическим многочленом $\chi_{\varphi}(t)=(t-\lambda_1)^{n_1}\cdot\ldots\cdot(t-\lambda_p)^{n_p},$ где $\lambda_i\neq\lambda_j$ при $i\neq j$. Тогда $V=V(\lambda_1)\oplus\ldots\oplus V(\lambda_p)$прямая сумма корневых подпространств $V(\lambda_i)$, каждое из которых инвариантно относительно $\varphi$ и имеет размерность $\dim V(\lambda_i)=n_i$. Оператор $\varphi-\lambda_i\textrm{id}$ нильпотентен на $V(\lambda_i)$ и невырожден на подпространстве $V(\lambda_1)\oplus\ldots\oplus V(\lambda_{i-1})\oplus V(\lambda_{i+1})\oplus\ldots\oplus V(\lambda_p)$. Кроме того, $\lambda_i$ — единственное собственное значение оператора $\varphi_{|V(\lambda_i)}$.

См. также

Литература

1) Jordan block
2) Jordan matrix
3) root subspace
glossary/matrix/jordan.txt · Последние изменения: 15.02.2014 16:13:41 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0