Группа

Группа

Определение группы

Определение 1. Пара $(G,\cdot)$ , сосотящая из множества $G$ и бинарной алгебраической операции $\cdot$ , называется группой¹⁾, если:

основная операция ассоциативна: $(x\cdot y)\cdot z=x\cdot(y\cdot z)$ для любых $x,y,z\in G$ ;
существует единичный элемент: $\exists e\in G$ $\forall x\in G$ : $e\cdot x=x\cdot e=x$ ;
для каждого элемента существовует обратный: $\forall x\in G$ $\exists x^{-1}\in G$ : $x^{-1}\cdot x=x\cdot x^{-1}=e$ .

Или, более кратко,

Определение 2. Группа — это моноид, в котором каждый элемент обладает обратным.

Пример 1. Множество $\textrm{Aut}(A)$ автоморфизмов объекта $A$ некоторой категории $\mathcal{A}$ является группой.

Пример 2. Симметрическая группа $S_n$ порядка $n$ при $n>2$ является примером некоммутативной группы.

Абелева группа

Определение 3. Группа, в которой основная операция коммутативна, то есть

$x\cdot y=y\cdot x$ для $\forall x,y\in G$ ,

называется коммутативной²⁾ или абелевой группой³⁾.

Обычно операцию в абелевой группе записывают аддитивно.

Пример 3. Множество целых чисел $\mathbb{Z}$ с операцией сложения $+$ является абелевой группой.

Пример 4. Множество отличных от нуля действительных чисел $\mathbb{R}\backslash\{0\}$ с операцией умножения $\cdot$ является абелевой группой.

Пример 5. Циклическая группа конечного или бесконечного порядка является абелевой группой.

Подгруппа

Определение 4. Подмножество $H$ группы $G$ называется подгруппой⁴⁾, если оно:

содержит единицу группы $G$ : $e\in H$ ;
замкнуто относительно операции в $G$ : $\forall x\in H$ $\forall y\in H$ : $x\cdot y\in H$ ;
замкнуто относительно взятия обратного элемента: $\forall x\in H$ : $x^{-1}\in H$ .

Пример 6. Подмножество $n\mathbb{Z}=\{nm\vert m\in\mathbb{Z}\}$ является подгруппой в $\mathbb{Z}$ для любого $n\in\mathbb{N}$ .

Пример 7. Знакопеременная группа $A_n$ является подгруппой симметрической группы $S_n$ порядка $n$ .

Предложение 1. Чтобы подмножество $H\subseteq G$ являлось подгруппой группы $G$ необходимо и достаточно, чтобы $\forall x\in H$ $\forall y\in H$ : $x\cdot y^{-1}\in H$ .