Алгебраическое расширение поля

Алгебраическое расширение поля

Алгебраические элементы

Определение 1. Пусть $F$ — подполе поля $E$ . Элемент $\alpha\in E$ называется алгебраическим¹⁾ над $F$ , если $\alpha$ — корень некоторого ненулевого многочлена $f(X)$ с коэффициентами из $F$ , то есть выполнено условие
$a_n\alpha^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\ldots+a_1\alpha+a_0=0$
для некоторых $a_0,a_1,\ldots,a_n$ , не равных нулю одновременно.

Пример 1. Элемент $\sqrt{2}$ из поля комплексных чисел $\mathbb{C}$ — это алгебраический элемент над полем действительных чисел $\mathbb{R}$ , так как он является корнем многочлена $X^2-2$ с коэффициентами из $\mathbb{R}$ . Этот же элемент, очевидно, является алгебраическим и над полем рациональных чисел $\mathbb{Q}$ .

Определение 2. Пусть $F$ — подполе поля $E$ . Элементы, не являющиеся алгебраическими над $F$ , называются трансцендентными²⁾.

В случае, когда $F=\mathbb{Q}$ и $E=\mathbb{C}$ , говорят просто об алгебраических³⁾ и трансцендентных числах⁴⁾.

Пример 2. Число $\sqrt[3]{3}$ — алгебраическое, так как $(\sqrt[3]{3})^3-3=0$ .

Пример 3. Числа $e$ и $\pi$ — трансцендентные.⁵⁾

Неприводимый многочлен алгебраического элемента

Определение 3. Пусть $E$ — расширение поля $F$ , и элемент $\alpha\in E$ алгебраический над $F$ . Ненулевой многочлен $p(X)$ с коэффициентами из $F$ минимально возможной степени, удовлетворяющий условию $p(\alpha)=0$ и имеющий коэффициент при старшем члене, равный 1, называется неприводимым многочленом⁶⁾ элемента $\alpha$ над $F$ .

Предложение 1. Неприводимый многочлен алгебраического элемента $\alpha\in E$ над $F$ определен однозначно.

Алгебраическое расширение

Определение 4. Расширение $E$ поля $F$ называется алгебраическим⁷⁾, если каждый его элемент алгебраичен над $F$ . Расширение, не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным⁸⁾.

Пример 4. Поле $\mathbb{C}$ является алгебраическим расширением поля $\mathbb{R}$ , так как любое комплексное число $a+bi$ является корнем многочлена $X^2-2aX+a^2+b^2$ с действительными коэффициентами.

Пример 5. Поле $\mathbb{C}$ — это трансцендентное расширение поля $\mathbb{Q}$ , так как в $\mathbb{C}$ содержатся трансцендентные числа.

Предложение 2. Всякое конечное расширение $E$ поля $F$ алгебраично над $F$ .

Литература

¹⁾ algebraic element

²⁾ transcendental element

³⁾ algebraic number

⁴⁾ transcendental number

⁵⁾ В действительности это теорема, которую нужно доказывать.

⁶⁾ irreducible polynomial of element

⁷⁾ algebraic field extension

⁸⁾ transcedental

glossary/field/extension/algebraic.txt · Последние изменения: 28.08.2010 20:20:23 ladilova

Наверх