Поле

Поле

Определение поля

Определение 1. Тройка $(R,+,\cdot)$ , состоящая из множества $R$ и операций сложения $+$ и умножения $\cdot$ называется полем¹⁾, если выполнены следующие условия:

(ассоциативность по сложению) $(a+b)+c=a+(b+c)$ для всех $a,b,c\in R$
(нулевой элемент) существует нулевой элемент $0\in R$ такой, что $a+0=0+a=a$ для всех $a\in R$
(противоположный элемент) для всех $a\in R$ существует противоположный элемент $-a\in R$ такой, что $-a+a=a+(-a)=0$
(коммутативность по сложению) $a+b=b+a$ для всех $a,b\in R$
(ассоциативность по умножению) $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$ для всех $a,b,c\in R$
(единичный элемент) существует единичный элемент $1\in R$ такой, что $a\cdot 1=1\cdot a=a$ для всех $a\in R$ . При этом обычно требуют, чтобы $0\neq 1$
(обратный элемент) для всех ненулевых $a\in R$ существует обратный элемент $a^{-1}\in R$ такой, что $a^{-1}\cdot a=a\cdot a^{-1}=1$
(коммутативность по умножению) $a\cdot b=b\cdot a$ для всех $a,b\in R$
(дистрибутивность)
1. $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ для всех $a,b,c\in R$
2. $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ для всех $a,b,c\in R$

Иными словами, поле — это коммутативное тело.

Пример 1. Множество комплексных чисел $\mathbb{C}$ с определенными операциями сложения $+$ и умножения $\cdot$ является полем.

Пример 2. Множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ со стандартными операциями сложения и умножения является полем.

Пример 3. Для прострого числа $p$ кольцо $\mathbb{Z}_p$ классов вычетов по модулю $p$ является полем.

Подполе и расширение поля

Определение 2. Подполем²⁾ называется подкольцо, являющееся полем.

Определение 3. Если $F$ — подполе поля $E$ , то говорят, что $E$ — расширение поля³⁾ $F$ .

Пример 4. Множество действительных чисел $\mathbb{R}$ является подполем поля комплексных чисел $\mathbb{C}$ . Соответственно, $\mathbb{C}$ — расширение поля $\mathbb{R}$ .

Пример 5. Поле рациональных чисел $\mathbb{Q}$ является подполем поля действительных чисел $\mathbb{R}$ .

Пусть $E$ — расширение поля $F$ . Тогда $E$ можно рассматривать как векторное пространство над $F$ , поскольку для $b\in F\subset E$ и $\alpha\in E$ выражение $b\alpha$ — это умножение в $E$ , а значит, выполнены все аксиомы векторного пространства:

$E$ — абелева группа по сложению,
$b(\alpha_1+\alpha_2)=b\alpha_1+b\alpha_2$ для всех $b\in F,\alpha_1,\alpha_2\in E$ ,
$(b_1+b_2)\alpha=b_1\alpha+b_2\alpha$ для всех $b_1,b_2\in F,\alpha\in E$ ,
$b_1(b_2\alpha)=(b_1b_2)\alpha$ для всех $b_1,b_2\in F,\alpha\in E$ ,
$1\cdot\alpha=\alpha$ для всех $\alpha\in E$ .

Конечное расширение

Определение 4. Расширение $E$ — поля $F$ называется конечным⁴⁾, если в поле $E$ найдутся такие элементы $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ , что любой элемент $\alpha$ из $E$ можно единственным образом представить в виде
$\alpha=b_1\alpha_1+b_2\alpha_2+\ldots+b_n\alpha_n$ ,
где $b_1,b_2,\ldots,b_n$ — элементы из $F$ . Иными словами $E$ — конечномерное векторное пространство над $F$ .

Определение 5. Пусть $E$ — расширение поля $F$ . Размерность векторного пространства $E$ над $F$ называется степенью расширения⁵⁾ $E$ над $F$ и обозначается символом $[E:F]$ . Степень расширения может быть бесконечной.

Пример 6. Поле $\mathbb{C}$ — конечное расширение степени 2 над $\mathbb{R}$ с базисом $\{1,i\}$ , так как любое комплексное число единственным образом представляется в виде $a+bi$ , где $a,b$ — действительные числа.

Предложение 1. Пусть $k$ — поле и $F$ и $E$ — расширения поля $k$ , причем $F\subset E$ . Тогда

$[E:k]=[E:F][F:k]$ ,
если $\{\alpha_i\}_{i\in I}$ — базис $F$ над $k$ и $\{\beta_j\}_{j\in J}$ — базис $E$ над $F$ , то $\{\alpha_i\beta_j\}_{(i,j)\in I\times J}$ — базис $E$ над $k$ .